[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十九）基础研究，工程科技，经济发展和研究强国



作者：wcboy



现在基础研究被泛化了，很多工程技术的东西都被冠以基础研究。基础研究主要往理论上靠，研究目标就是要去掉唯象论和经验而被数学化。同一个实验既可以支持理论发展也可以支持工程发展，实验是中立的，因此实验本身不能算基础研究。很多应用数学工具建模的学科与数学没有紧密联系，它们只能是工程技术。只有那些被数学化而变成不可分离的部分时，学科的基础化就越高。

基础研究就是一个学科数学化的过程，其学科本身对数学发展不可缺少。因此金融数学，生物甚至化学都不能是基础研究。只有数学和理论物理（而不是实验物理）是真正的基础研究，想一想理论物理中实验只是其一部分作用，剩下的都是数学。说到底，只有数学才算终极基础研究，因为理论物理最终会变成几何的一部分。

基础研究的目的是理解自然和宇宙，而不是直接去获得经济好处。进行有效基础研究的两个必要条件：对自然秘密的浓厚兴趣，自然赋予的天赋探究才能。

现实是很多没有数学含量的东西都往基础研究上靠，想沾光基础研究以引起世人注意来为自己拉经费和赞助。事实上，数学的研究费用很少，比起其他，可以忽略不计。

一个国家经济强大和先进，主要是它的工程科技的强大，而非基础研究的强大。一个基础研究世界第一的国家，其工程科技不一定世界第一，尽管工程科技要靠基础研究，但它可以应用那些已经存在的基础理论。

一个国家认为经济强大了，就能达到世界领先的基础研究，那是幻想。一个其精英人物从来没有思想自由和对自然渴望探究的基因和传统的国度不可能在基础研究中有太大的作为。即使美国，日本经济上强大，其数学研究比法国，德国，前苏联不如。

一个基础研究强国必须要有几个主要的一流强校和机构和自由思想的体制和崇尚科技的民众，比如普林斯顿高等研究院IAS，巴黎高等科学研究所IHES，剑桥，普林斯顿等。所谓一流强校，必须拥有一流当打之年的学术大师作为招牌。所以基础研究强国主要是比人才，没有几个超级和一流大师撑场，所谓研究强国一流强校就是空谈和笑谈而已。

美国经济这么强大，其本土也没有超级数学巨匠出现过，尽管一流人物不少。Grothendieck们只出现在法国。法国，德国，英国是历史最强的基础研究强国是因为他们人的基因和传统。即使它们退出政经舞台，它们的基础研究仍然不是他国所比。

以前经济不发达，基础研究搞不上去有借口，现在经济进入大国行列，基础研究还是搞不上去，仍然有借口，就是不愿承认自己不行。

Abel很穷没有固定工作还要养他的弟弟妹妹，Galois身处动荡时代，Gelfand身处前苏联，为什么他们能作出成就？现在国内很多人手握有研究巨资和一大帮助手还是无能，同时众多身处底层的研究人员还认为是自己的平穷拖累了自己的研究前途。为什么所有的人都不从自身上找问题而喜欢从外部找替罪羊，国人基因使然。

如果你穷抱怨，那么你可以不结婚，不要小孩，不要做房奴。如果不放弃，那么说明基础研究在你那里不重要，你的兴趣并不大。

如果你手握巨资或者不发愁的工资，你还抱怨，那只能是无能。人不承认自己无能是因为想要更多特权和享受名声。 金钱至上和学而优则仕是国人基因和传统，这样的人群无法在基础研究中有大贡献。基础研究是普世的，而不是特色的。

国内的数学家懂高深物理吗？国内的理论物理学家懂高深数学吗？国内物理人只会方程解析，国内数学人爱好数论。国内就根本没有同时对物理和数学深度理解的基础研究人。这样的环境能出一流人物吗？超级人物就更不用幻想了。为什么国内人要强调基础研究的多人合作？因为掩盖无奈。基础研究不是靠人海战术取胜，一个超级人才强过一大帮一流人才。独立研究是第一，合作是添加剂而已，可有可无。如果你强，合作者拖后腿，而且还有优先权之争。独立研究大问题是基础研究的最高境界。   

一个国家的基础研究很弱而研究人员普遍眼界很低的情况下，从基础研究强国引进人才是非常明智的，这是因为不能直接拥有一流大师就退而其次拥有大师的门徒而间接获取大师的思想和风格。问题是没有自由学术土壤和制度去清理那些特色的传统垃圾，引进也会被同化，比如学术欺诈，造假，抄袭泛滥。一个对知识产权不尊重的国度，基础研究也是不会被国人尊重的。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（二十）精彩的计算



作者：wcboy



计算本身就是数学的核心灵魂，没有计算的数学走不了多远，就变成耍嘴皮的哲学和文学了。历史上有几个精彩的计算篇章，并产生了几个令人叹为观止的计算天才。

在微积分时代，无穷级数和物理的计算竞赛导致了微积分的诞生，催生了一大批历史超级数学家和一流数学家，还有更多的二三流数学家。Euler，Bernoulli家族，Newton， Leibniz， Lagrange，Laplace，Fourier， Eisenstein，Cauchy， Poisson，Gauss， Ramanujan，Dirichlet等等。其中Ramanujan，Euler，Eisenstein和Gauss的计算能力尤为让人叹为观止。无穷级数的计算竞赛是历史上最惊人的计算。

下一个惊人的计算是Galois和Abel在五次方程可解性上的计算，最终导致现代群论的诞生。有限群的计算竞争达到最高潮，这绝对是人类仅次于无穷级数计算竞赛的一次精彩计算。

Poincare在天体力学的单人独力精彩的微分方程计算最终导致了现代拓扑学的诞生。

寻找素数规律的计算也是数学史上精彩的计算。这主要指黎曼猜想的最终形成和基于素数互反律的形成。早期在这上面进行工作的人必须进行大量的手工计算和进行数字观察实验才能提炼出规律，这在没有计算机时代是极端困难的工作。观察大量数字并找出隐藏很深的规律需要极端高的数感，只有惊人的计算天赋才能完成。

Ramanujan和Eisenstein在级数上的工作跟modular form和有限群分类和string theory都发生了联系，主要体现为最大魔群的月光猜想（monstrous moonshine）与超弦的时空维数的联系。这是一个非常美的和值得称赞的数学结果。

当然，本人不认同Gauss对Eisenstein的过誉评价，这可能与Gauss的数论价值取向有关。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（二十一）数学环境



作者：wcboy



对于数学菲尔兹来说，今年不过又是一个平庸之年而已。像J.H.Conway那样的比菲尔兹差么？很多（其实是绝大多数飞奖）数学全面性，创造性数学技术和看数学整体的方式都不如他。女性获奖不过是一个找机会给女性颁奖罢了。真正值得敬佩的女数学家只有一个，那就是Emmy Noether女神，历史上比她强的男人没几个，那都是数学巨兽，艾米她本身也是巨兽。后来者也只有那只不知死活的代数几何巨兽能与之比。平庸的菲尔兹在他们前不算啥，尽管如此那也不是中国数学人所能比的。

为什么中国环境就不能出菲尔兹这种级别的数学家呢，而海外华人倒也有三个，但陶哲轩跟中国文化没有任何关联。中国的历史已经证明了中国的所谓数学奇才最多也就是普通奇才而已，这种级别的奇才需要环境培养，自我培养达不到高级别。中国人（一般是非数学研究人员）总是说中国的大学以前的数学教育比美国和印度强（很少说法国，大概法国不起眼，否则中国非数学人会闹更大笑话，因为他们压根就认识不到世界第一数学强国），这完全是一个不正确看法，好的教育环境是一个整体，不能分割来看，英式教育没有像中国教育那样一股脑地将你不需要的东西全倒给你，压给你那麽多作业，而是让你自己思考，让你选择，那是什么？那是民主，自由和独立思考。看似他们的教育输在起跑线上，其实不然，他们获得了做研究的习惯和方法，对喜欢的，
无论数学物理与否。世界需要那麽多数学家和教授干吗？但一个好的教育保证那是精英的需要。大多数人也就干干不超过算术需要的数学而已，但他们的数学足以帮助他们的其他专长，比如他们能专注地干好专业技工，园艺工，护理，职业运动员，职业演员，作家，艺术家等。这不是很成功的教育吗？干好一门自己喜欢的就行，不是人人都能做数学家，只有数学研究最好的能做。喜欢数学，数学竞赛和考试好，和能做数学， 他们不是一回事。很多不能做数学的人喜欢数学，这类人是什么？反正大学前教育不过通识教育，为考某些专业，很多有能力的人为达到自己喜爱的专业（比如医学，法律，计算机，金融，数学必须高分）他们也会用心去学（尤其很多女生），而且考试成绩不比那些日后数学人低，他们是什么人？那么，什么人会去参加奥数竞赛，那一定是喜欢数学的人（在国外不是中国）。但是所有喜欢数学的人都会奥数？不会，有人怕高强度考试，有人认为既喜欢数学有喜欢物理，还没决定好，那不是更大的天赋吗？但是能做数学有喜欢数学人的考试和奥数再差也是有谱的，只要他参加的话（不是有过比赛第二名嘲笑第一名的笑话吗？历史上谁会记得第一名，但会记得我）。英式教育能一下找到所有数学天才吗？不能，但大部分。因为少部分数学天才同时也是其他天才，还没决定好，这不有选物理，历史，工程，医学，建筑，音乐的多面天才漏网。还有更奇特的，一个数学天才还没发现自己是天才，只是认为自己数学比一般人强而已，多年以后才认识到自己，才从新进入数学圈子。但是英式教育也为这些人留了后门，从新发现他们。中国数学教育环境是这样的吗？不是，那数学课后培训，奥数培训是干嘛？考高分。考高分干嘛？去搞金融，计算机，生物，医生，留校，反正哪钱多安逸往那转，钱，权，美女，资源，还有一部分呢？出国，好主意。出国的大部分干嘛？反正不搞数学。搞数学有么？有，几乎都是国内那几所出国培训名校的。那么中国出国培训名校不是很好嘛，为什么他们要出国？出国好，出国有大师当导师，国内没大师，没办法。出国后再被邀请回来当大人才多好，钱又多，名也有，还可以。。。，当然更重要的还可当大官（查一查就知）。当然，还有极少数寥若星辰的几个在外结果了，真心喜欢数学，不把自己年华浪费在国内。良心好的，老了回来不坑人，不花边，不好的就不说了，都知道。

说了这么，到底就是国内数学教育环境对那些漏网数学奇才又没办法进出国培训名校的（其实进不进无所谓），最佳出路是想尽办法出国，去享受名师或名师高徒的培训，这样才能达到高级别，一个数学奇才数学环境恶劣又没名师指点，是难幻想靠自我培训出名的，对普通数学人就更不可能了，还是安心当数学老师为好，除非高斯、阿贝尔和代数几何巨兽，印度病人级别，中国没可能有这样的人物（有了才能说还要看在现实中存活度）。

对了，印度三哥的数感是比中国人强的，阿拉伯数字也是他们弄的。
还是布尔巴基说实话，数学是纯粹为了人类心智的荣光（说为名，钱，房，权和美女了吗？实在，纯粹，真，感动，书中没有黄金屋，书中没有颜如玉，那些都不是数学）。所以俄罗斯可以有佩尔曼那样的纯粹人，伊朗女人也可以得奖，阿三哥更不赖。汗。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（二十二）数学研究态度



作者：wcboy



从Newton，Leibniz， Fourier等人不管严密先管出结果，到Cauchy，Weierstrass的形式符号严格化，再到Cantor，Dedekind更加严格化，微积分演变到现在变成了（实）数学分析，增加了很多很多计算以外构造性说教性质的晦涩难懂的东西，美其名曰分析。这个东西爽不爽？不爽，逻辑悖论和ZFC不让人爽，Godel就更不让人爽。不爽但有实用，你不能拒绝，不能。说到底，就是如何处理无穷问题，Newton他们都是大忙人，想的问题太多太重要了，脑袋不可能再进一步细化，先用光滑潜无穷小几何形足够得到他们想要结果，就行了，那里还要那么啰嗦，不是吗？如果那时开始啰嗦，现在的物理进步进程就会大大放缓。后来人为了保住成果，就将就搞出一个 (ε, δ)形式化来处理函数化潜无穷。仍然不理想，Cantor，Dedekind就搞出来整数化实无穷。这是一个显著进步，被定格为实分析，最后给它配一个几何化，就是点集拓扑，最重要的就是Hausdorff space，开闭紧。在这里，你看到什么，没有计算的构造性说理分析，实际上最管用的还是 (ε, δ)形式化，只有他管计算。Cantor的成果确实是分析学的最高成果，因为所有数学最终要用数来支撑，我认可。但是Cantor活着时受到了Poincare和Kronecker的攻击，难道后两者疯了吗？不是，Poincare的才华足以压制历史上所有数学家，他的攻击是对的，即使现在他在世，他还会，因为Cantor确实有不爽。所以攻击是对的，承认也是对的。尽管你的代数构造是对的，你要找到大量有效的几何形来为你辩护，不然别人有权不承认你的，甚至将你当民科，Cantor找到一些（Cantor集），后人也帮他找到一些。Hermann Günther Grassmann就没那么幸运了，关键就是当时没有几何物理支撑有远脱离当代数学，不被赏识是非常合理的。想想看Gauss都不敢轻易发表双曲几何，怕民科，因为那种几何要物理测量支撑和应用，他为啥大地测量，疯了，真喜欢搞土地测量上瘾，还不是为他的微分几何和双曲几何找支撑，Gauss研究态度真人也。没的说，再说他也不缺一两个功绩。

数论为什么会被那麽多数学人喜爱呢？主要是爽，没那多废话，不会计算，没有数感，就不要入错行。数论又不爽的吗？有，一下就看懂了，民科都敢勇敢地挑战数学家，摘明珠，还要你承认。


处理无穷问题，我非常欣赏J.H.Conway的Surreal number和Georg Cantor的Transfinite numbers，并且认为J.H.Conway的更好，而且就是对的，但我现在不会支持他们，因为现在没有任何几何物理来逼出他的应用，但我深信将来一定会，也就是他们的未来数学地位一定会比目前高。相比之下，Abraham Robinson的 Non-standard analysis就是垃圾，为什么那么晦涩重复。

所以凡事涉及无穷的东西不要轻易回答，比如民科式连续统研究，去辩论1=0.9999...。但是个人绝不会去欣赏点集拓扑实分析那些东西，更会拒绝ZFC，会接受Godel。

数学的目的就是几何形来配置数和透过形来看数，黎曼猜想不就是这样吗？简单？难？都是又都不是，其实是超级难。
所以，一个论文的被接纳与否，不都是对错问题，即便数学也会如此。高端论文也要接地气才行，不然人家也不认可你，除非你早有地位。从这点讲，格罗滕迪克是幸运的，早早就参加了牛逼辩论班，得到一帮牛人赏识和交流理解，不然那么一大堆新词和用法和那么长的东西，谁愿看，这就是圈子重要性。如果独斗又没名气，那么高端必须接地气，还要被欣赏。一句话，开创工作不是那么容易被接受的，伽罗华，阿贝尔不就是典型吗？很多一波三折，可能还有埋汰的。保守型工作总是容易的和价值少的。数学研究非常不容易，要让同行理解也不是论文到就成功的事，你写上500也有创新名词构造的名头又大又响的论文试试，看多少人看你。所以你要体谅别人的话，短点多次。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（二十三）数学前沿研究



作者：wcboy



如果一个数学人要做出数学上的成就，那么他必须进入数学前沿阵地进行有效歼灭战，解决至少一个有当代影响甚至历史影响的数学问题。数学前沿涉及最难啃而又影响深远的著名大难题（如克雷数学机构提出的七大著名难题）或者艰难的次等的一般性浅层难题（如哥德巴赫猜想），这些都是已知的未知。但是更重要的数学前沿是涉及未知的未知（比如拓扑学和物理领域），这需要你首先发现问题，然后再去解决。

数学前沿是有很多层次的。最低层是那些已经公开在印刷物的最新或较新的数学问题和潮流。中间层是仅仅在数学界的数学家（尤其最厉害的著名或隐藏数学家）之间交换的零碎隐晦数学看法和技巧，他们不出现在公开刊物上。最高层是那些仅存在在最厉害数学家或隐藏数学天才的大脑中的数学问题或模型，并且不为除自己之外的人知道，没有任何传播。

那么一个数学人或初级数学研究人如何进入数学前沿呢？最低要求，如果考自己，那么你就要收集你感兴趣的公开在印刷物去追潮流做公开问题。中级要求，做一个数学大师的研究生，进入数学家（尤其主要数学家）的圈子，这样你就能得到那些没有公开印刷的圈子里流行的不成熟的数学前沿内容。终极要求，如果你是一个超级数学天赋携带者，了解数学全貌，并能发现潮流与未来数学进展的偏差，你能真正知道潜在大进展不在当今潮流内或者你能发现在潮流之外的大东西，在你没做出来前，不想与任何人交流，恭喜你，你很可能会一鸣惊人，如果你接地气的话。

在中国，因为不存在数学物理大师，中国数学人只能在最低层次的数学前沿晃荡。出国以后，你可以在中等层次的数学前沿中受数学大师的指导。因此，这就是为什么中国数学人不能做出大一点的数学成就的主要原因，你所在的人际环境，国家（权力）体制，思想禁锢，传统文化都注定是绊脚石。这就是科学和民主自由体制是相伴相生的原因，科学和民主都是普世的，不承认普世价值的环境不可能出大科学成就。中国数学人没有产生过数学巨匠，所以不可能进入终极数学前沿，中国数学人只能做跟随者。

在数学前沿，你会有非常多的困惑和选择，尤其你进入中层数学前沿阵地，接触了很多外国数学大师之后，你会发现，同一个数学问题可以有不同的思考方式，而且每个都能解决一部分问题，但是这些不同的思维方法又不是相通协调的，你也不知道那个能走通，也许一个都不行，你怎么办？你要自己思考权衡和选择，一旦选错，你基本白费功夫，非常不划算。这时就要靠你自己的数学天赋了，没人能帮你。很多情况下，就是数学道路的选择，不能迷信那些数学大家的方法，他们不是万能的。比如你按对称性来选取不变量，所有不对称的object被归为一平凡极端类，当然这达到了一个完整分类的目的，但是这不能解决你的问题，实际上，那些不对称的类的object数量远比对称的多，如果按某个不对称的不变量，那么对称性的object就是平凡类了，但是这个不对称不变量你找不出来，而且极端困难。实际上这在拓扑学中很普遍，比如亏格拓扑群之类的东西，数论中的素数分布及丢潘图通解，微分几何中也不少，绝大多数极端重要的东西都是不规则的就算他们有某种规律也隐藏很深。

做前沿数学，一定的旧的数学基础知识（比如微积分，数论，非欧几何，代数拓扑，代数几何，群论，环理想）是需要的，但不一定全部挖掘学习，更重要的是你的数学天赋，没有天赋不是寸步难行，而是不能前行。


普通数学家只能研究热点问题追潮流，但潮流不等于高引用，而是厉害数学家的看法。超级天赋携带者追求真正数学发展方向而不随潮流，他们才能做出惊世之功。天赋永远是数学研究的第一要素。所以进入数学前沿，你要估计自己的天赋，否则成民科。

另外，前沿问题的解决决不能平凡化，比如Robinson的 Non-standard analysis完全就是平凡化，在普通数学分析吊上一个无穷外壳，实际没有任何有意义的思想和构造，也不解决真正几何问题和insight，这就是民科行为发生在专业数学人上的例子，另一个例子是模糊数学。一个通用理论构造必须要带来不平凡的东西，一个有意义的计算构造一定要解决一个具体的计算难题。