[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法

酒哥

一家之见

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[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法

作者： wcboy   



怎样看待数学？不同的人看待数学的方式不同。如果想在数学上有所作为，必须理解数学的全局。但是数学内容如此众多，想全部细节都了解那是不可能的。目前数学深深地烙上格洛腾迪克印记，一个数学研究人员完全不了解现代代数几何内容是不可思议的。在数学观上，普通人，普通数学人，普通数学研究人，一般数学家，一流数学家，数学巨匠，他们的差别是巨大的。不同的数学观完全决定研究的起点和深度的巨大差异。

数学发展经历了古代初等数学、近代实用化数学，近现代公理化数学和目前的结构化数学。尽管数学风格的变迁，使看待数学的视野被极大拓宽和自由，但数学的基本本质仍是不变。数学的基本本质就是几何结构和代数结构的延续和互相渗透。

为什么一个有理想的数学研究者必须尽可能地了解数学的最新进展（懂英语的重要性，看英语原著比中译本更易懂）,那是因为唯有如此,你才能了解目前数学有哪些新的几何结构和代数结构出现，重要性如何。如果你没有跟踪最新进展，要么你在重复别人的研究，要么你根本没有数学研究能力并且根本不理解数学在玩民科。追踪数学进展，并非要完全理解它的所有细节，其目的在于得到一个数学全局概观和下一步研究及学习路线。

就算你学完了某些（或即使所有（这没人可以做到））数学分支课本，那也只是变成一个普通的数学人，还没有进行研究的真正实力。只有当课本的内容转化为自己的知识时，你才能理解数学家的研究，进而获得一些基本研究能力，但要到一般数学家研究能力，你必须具有一定的数学全局观，理解一流数学家和数学巨匠的重要方法，并老老实实在他们限定的框架内解决一些必须克服的难题。而一流的数学家则必须完全理解数学巨匠的方法的优点和局限性，并提出自己的不同方法而克服或缩小数学巨匠的方法的局限性，并引领时代潮流，驾驭数学朝数学巨匠指点的高端行进。

数学巨匠，完全不同于一流数学大师，他们不是引领数学主流而是反潮流的，一旦成功，则改变数学研究的风向，影响巨大而深远，为历史的里程碑。

一个人的数学天赋结构（天赋的高低、品种和快慢）决定了他的研究能力、方向和风格，比如一个人解题速度很慢，不意味天赋低，只是以放松的风格来思考问题。尽管很多数学家说他们靠勤奋而成功，事实上他们的勤奋是建立在天赋之上才获得成功的。如果抽取天赋，即使再努力也不会成功。有的数学家代数或数字天赋强大，如伽罗华，阿贝尔，拉马努扬，高斯，托伦斯陶，有的几何洞察力深远，如黎曼、高斯、庞加莱和瑟斯顿。没有数学天赋的人，最好不要搞数学研究，否则成民科。天赋低的人数学竞争力弱，数学前途渺茫。为什么天赋重要，因为一个人不可能在懂所有数学专题细节后才开始进行研究，在绝大部分情况下，是边研究边学习，这需要天赋自动引导研究路线和判断研究对象和方法的价值。进入一个全新的内容完全取决天赋。大多数数学系的人的天赋都达不到研究级别。

一个人不懂stack、topos、etal cohomology、Godel不完全双 定理不要紧，带着自己的天赋和天赋积累的例子去看，天赋的高低决定懂的程度。最怕的是不知道这些概念和构造的存在，因为在研究的阶段，你很可能会用上，至少可以让你学会以较高的数学观点看自己的课题。

非常同意Alain Connes的话：在我看来，关于数学首先要知道，我们无法通过学习变为数学家，而是通过做数学才能称为数学家（我加一句，必须有天赋和基本基础的人）。

看万卷书破万个题的学习方式不是普适的，并且我认为是多为迂腐人所为，数学研究的起始只需要你的知识足够对付你所选课题的首期即可，后期必须在天赋的引导下进行研究式学习来补充不足，天赋的最主要作用在于最后产生新想法、技巧或构造去攻克课题。

搞研究的人必须要先选合适自己天赋的课题，不能等到大部分基础打好后才选。有课题在手，使你容易选方向深入，在辨别中深入理解所需数学内容，普通学习达不到这种效果，因为在思考课题时，有些内容可能比课本更深入了，变成自己的东西，课本学习就变得容易。选课题也是有天赋的。

数学研究的目的是什么？是解题。为什么不是乐趣和学习？一般的乐趣和学习是低层次行为，不属于研究目的。解题的关键是什么？是做出一个数学构造。这个构造可以是一个例子的构造（构造一个例子去完成一个否定或辅助支持论断，比如构造一个具体的同调群结构（解决一个拓扑分类问题）或一个特殊n体系统（解决天体力学中n体问题）），也可以是一般构造（比如椭圆函数和模形式的对应构造、亏格），还可以是基本构造（比如黎曼面、庞加莱的拓扑同调及同伦技术、汉密尔顿四元数构造）去开始一门学科分支。解题的乐趣是研究数学最大的享受。

非常同意Weil的话：要想掌握高深的知识，唯一的途径是阅读大师本人的著作。Abel也如此认为。
只有读大师的书，他们才告诉你数学的真相和他们方法的原始构思和起源。大师的数学思想的价值是非大师不能比的，而且从大师的论文中，你还可能读懂别人没读懂的隐藏思想。很明显，大师论文会明显或隐晦地回避他的方法的某些缺陷，这不是每个人都能读准的，有的被后人发现，有的没有，有的还被误读。比如在看代数几何以前，先读一下Dieudonne关于代数几何的发展史及关于数学结构分类的文章和书是非常有益的，这有助于消除对高度抽象的恐惧感和直接进入高度抽象后的抽象迷失症（不知道抽象的目的后的盲目抽象）。

尽管数学越来越抽象而高深，但是一个正常的数学研究者必须明白一个真相，数学的基本结构才是数学的核心，基本结构才是数学结构抽象赖以生存的基础。基本结构分几何和代数两部分。

现有的代数基本计算构造包括实数、复数、矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数、模代数（mod(n)），包含所有基本运算及置换运算。几何基本结构包括解析几何结构和拓扑结构。所有数或函数域扩张是基本结构或混合结构的子部分或模拟。复数与实数结构有一个很大差别，数分解的唯一性和非唯一性，这直接通向环的理想结构，方程解的性质分析直接导致用矩阵结构处理不同群的计算，模代数导致循环群和环的概念扩张（周期封闭运算）。矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数中非交换或非结合的主导地位。无穷结构（康托尔连续统）对代数结构的限制，导致连续计算结构和离散计算结构的差异。

任何代数结构都必须用来处理几何结构，否则没有意义。代数是工具，几何是灵魂。正是复数、矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数在出现时没有对应的几何应用才导致争议或被忽视。几何结构用代数构造来处理才能到达深刻。

所有方程都是函数，函数基本可以和方程等价看待，如果在不违反康托尔连续统结构条件下。数论方程是离散几何形，分析方程是连续几何形。

基本计算构造中的一些基本计算形式必须被了解，比如分析中的泰勒形式，傅立叶级数，外微分形式，柯西复公式，调和级数。复数中的欧拉公式，复函数的自然级数ｅ表示公式。

一些基本的思想，比如函数点化的函数（参数化）向量空间（甚至更抽象的等价类的moduli空间（概型））思想（一个高维图形或等价类可以看成抽象空间的一个点），比如函数的（系数或系数加部分变量）形成坐标（环域）和变量形成的向量基，基本的如整多项式和劳伦斯多项式，系数和变量可以不是实或复域，可以是矩阵或其他计算结构或混合结构。

格洛腾迪克的结构数学和希尔伯特的公理化数学看似相同，实则不同。公理化重在处理逻辑，而结构化重在处理构造。所以结构数学的计算技术得到强化。在数学中，个人以为构造比逻辑重要和有效得多。

抽象代数最有价值部分是群的计算，尤其有限单群，其次环域分解，即什么样扩张域能使某个特定环的分解变成唯一的。代数几何的最好部分就是上同调群的构造和计算。个人认为格氏代数几何虽然应用于拓扑和数论，但还是其数论的效用显著，几乎是为现代数论定身制作的。尽管同调群计算可以应用于拓扑，但对拓扑的深层次问题的解决帮助不大，主要是庞加莱的同调和同伦技术不能处理这些深层问题，对此庞加莱本人十分清楚。

当对比前辈时，当代数学家的影响和地位一般都会被当代数学人拔高。历史长河将会自动降低大多数人的影响力。所以你必须对数学家的成就给予较合理的评价，这样才能合理地理解数学思想和构造。一个盲从的人，其研究能力将被降低。就个人观点而言，能在庞加莱和希尔伯特后称为数学巨匠而无争议的人只有格洛腾迪克。格洛腾迪克第一次真正地总结了所有现存的代数与几何结构，实现了纵横联合。但不应过分拔高其影响。个人认为他还是不具备黎曼、庞加莱、伽罗华、高斯、阿贝尔、希尔伯特的影响，因为他们交给我们一些基本计算构造，而格洛腾迪克只是综合别人的构造。

几何的洞察力比代数天赋更宝贵，格洛腾迪克的几何洞察力比较弱，其代数几何更像是为从事数论的人打造的，适合算术几何化分析。这点可以从他的拓扑比较弱，抽象代数比较强可以看出，尽管他最初从研究拓扑起家。他的代数几何继承了经典抽象代数构造和拓扑技术构造，尤其同调技术（庞加莱的拓扑同调看来比希尔伯特的多项式同调更加深刻）。拓扑结构，格洛腾迪克的东西是罩不住的。康托尔连续统结构，格洛腾迪克的东西是罩不住的，但格洛腾迪克试图用（拓扑斯和范畴）罩住它，这很不现实。

康托尔连续统是整个无穷构造绝对核心。康托尔连续统的构造并非完美，哥德尔只是从逻辑层面而不是从计算构造层面解决康托尔无穷结构。任何对康托尔连续统结构的调整必将引起数学面貌的重大变化。如果从代数方面简单地处理康托尔连续统，就算以后被证明是对的，目前也是很难被认同的，就如格拉斯曼、汉密尔顿的境遇，康托尔本人当时境遇很惨。约翰康威在康托尔连续统上做了一些探索，但那只是游戏而已，非标准分析就只是一个拙劣的模仿产物。代数基本计算结构的新出现（发明），必须反应在几何结构重大自然发现中。格拉斯曼代数在多变量微积分张量结构中，汉密尔顿代数在麦克斯韦方程中的应用，才使这些构造有意义。本人认为康托尔连续统构造不是令人满意的。

当前格洛腾迪克的东西被人过分拔高了。它的局限性是很明显的，它更像一个数学的抽象合纵，不能用作提供解决一些关键数学结构的代数构造武器，尽管以后新构造会符合抽象代数的某些要求。现代几何尤其拓扑仍然笼罩在黎曼和庞加莱的影响下。

当代最有几何洞察力的人是瑟斯顿，但他那一套解决拓扑结构的方案不能令人满意。拓扑结构目前是最有研究价值的数学方向，但拓扑的研究现状令人失望，完全没有突破黎曼和庞加莱的阴影。庞加莱本人完全清楚他主要拓扑构造技术的局限性。一般（点集）拓扑学纯粹是从概念上附和康托尔连续统结构而创制的，没有多大意思。微分拓扑与点集拓扑和微分几何联系太紧，体现不出拓扑的基本思想，只有代数拓扑是希望所在，但现状（基于同调和同伦计算技术）完全令人失望。拓扑结构和康托尔连续统间关联有很多不清楚的地方。

想要进入高端数学研究，必须学会鉴赏主要数学家方案的优劣（就如每个建筑师做自己的方案一样，会有不同效果），而不是全盘学习并完全陷入他们的方案，而是要随时设想自己的方案与其比较。因为数学文献是海量的，即使高斯、庞加莱再世，他们也无法看完。这时研究者只能凭其天赋直觉来挑选。如果一个方案没用或用处不大，马上抛弃，不要浪费时间去学习。现在没用或意义不大的数学内容太多。即使是数学大师，他们的一些东西也是用处不大的。

有两种途径进入高端研究领域，在一个自己能深刻理解的数学基本构造基础上，寻找合适的现存顶级难题；其二是自己在思考数学基本构造的基础上，发现并合理提出新的顶级问题独自为自己拥有（在未决前不公布），正如庞加莱在为解决天体力学的n体问题时所为，庞加莱的拓扑遗产比黎曼要深刻多了，构造idea和技巧也多。

不是每个世界难题都有基础数学意义。费马大定理就是一个好题目，它见证并参与现代抽象代数结构（尤其环理想）和椭圆曲线模结构的全过程。而哥德巴赫猜想就不是一个令人满意的难题，四色问题也是如此。庞加莱球面猜想的重要性被高估，尽管有瑞奇流技术，但没有直接产生有效代数拓扑构造。一个难题的好坏在于研究它的过程中产生较大普适范围的基本构造。

拓扑不变量的观念太深地根植在数学中，已经成为一种负担。目前的拓扑不变量太粗糙，附加条件太多，稍精细的技术太难计算或实际不能计算。使用不同不变量，使同一个拓扑形与其他不同拓扑形的形成不同拓扑等价类，即两个拓扑形是否等价，取决于不变量技术的选取。

事实上，拓扑形之间有些等价性是相对的，条件变了，等价性也变，有些则很隐晦的。同时，与康托尔结构发生关系，显然造成拓扑结构的复杂性。维数有关键性作用，高维拓扑不能由低维拓扑直接而简单地推广，高维比低维深刻很多。

阿蒂亚和邱说数学家看见了这些几何形或拓扑形，但就是没有办法。几何洞察力，首先就是看见形的静态或动态特征，尤其对复杂图形和高维图形的想象力（不要老想着几个简单图形，它们体现不出很多拓扑深入后的细节）,提取几何分解概念和结构，然后利用它们重新代数地构造所有拓扑形。

我并不认为当代这些名家真正看清了这些高维拓扑结构，如果看清了，必然在处理方式上有所反映。显然有一些重要概念没有得到完全理解。一些有效的拓扑分解概念和要素，被深深隐藏，需要强大的几何洞察力和数学全局观。需要突破的关卡和迷雾众多，而且像一个复杂的关系套，需要连续理解和挑战。同调和同伦技术不够深刻，不能全面反映所有拓扑形细节，它们不是一个理想的拓扑代数工具。拓扑基本计算构造应该不在目前所有代数基本构造范围内，需要新的代数计算工具。

数学的直觉往往是以具体而恰当的例子来转换的，恰当例子越多，通过直觉得到的构造被“证明”越“正确”。具体的例子比抽象的定理叙述更有说服力，更容易理解新构造。当你学习格洛腾迪克那样抽象的数学结构时，手头必须备有很多实例去对照。恰当地掌握了这些例子，也就恰当地掌握了数学。格洛腾迪克的抽象并非肤浅的抽象比如像非标准分析那种，而是基本结构为实例的深刻抽象。

中国人长于代数计算尤其数论，而短于几何分析，这是从古代流传下的传统，现在这种影响还是十分强大。陈邱二人在华人传统上进行了很大冲击，后来一些在国外的华人师从他们的道路。

看不惯国人对陈邱二人数学学术影响力和地位的过分拔高。他们二人对数学整体的理解，个人不完全赞同。尤其不喜欢邱（和威腾）对数学和物理关系的看法。牛顿把自己的名著定为力学的数学原理而不是数学的物理原理是有绝对感觉的。对物理和数学关系的看法，牛顿、庞加莱这些人才会有深刻体会。目前数学和物理关系正反映了现代数学缺陷，特别量子领域与康托尔连续统和拓扑结构有密切关系。现代理论物理已经沦为数学游戏（一个真正的物理家应该理论和实验通吃），而邱的数学寄希望通过理论物理来解决，非常不好。物理只提供实例，数学的基本构造必须源于自身。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（二）
作者： wcboy

谈一下对课题选择的看法。

选择课题方式是很随意的。比如有的人一上来就选著名开放难题，有的是通过与合作伙伴（比如师生、同学或相头的人）交换看法后选题，有的按所学专题选题，有的早早选题，有的会在研究生阶段被动选题。有的是人找题，有的是题找人。有的是选别人的题，有的自己造题。
个人对选题的看法是，选题一定要符合自己的天赋类型，一定要是自己感兴趣的或者入题后感兴趣的，选题越早越好，最好是题找人。题找人是最自然的，往往说明这个课题非常适合自己的天赋和趣向。但是题找人是有一个过程的，不同人的时间不同，幸运的人很可能一下子在20岁以前才发现，晚的可能要在30岁以后。自己造题比别人出题意味着数学的独立性很高。

中学时认为代数或数论适合自己，是微积分学习改变了轨迹，花一年多时间看微积分，书看完，完全不明白它的核心结构的含义，只记得级数很有意思。顺着看实分析、泛函，越看越蒙，直到看到康托尔连续统、勒贝格测度和哥德尔不完全定理时，就完全明白了分析实质，同时对数学和学习有了自己的看法。数学体系不是完美的，严密度是有界限的，每个数学家都有自己的看法，我应该也有自己的看法，我应该了解主要数学家的看法而不仅仅课本的一家之言。了解大师的看法就是直接读他们的论文，看不懂，没关系，去翻书在回过来看。在这个过程中，发现大师的看法、层次、类型、视野和难度差异很大，有的喜欢有的不是自己一路的，觉得数学分支的划分是人为的，数学的进步是围绕问题解决的，对数学家及其方案要有自己的评价。任何数学抽象必须基于底层最基本的东西。

其实微积分最实用的核心就是无穷级数的计算，数学分析的基底就是康托尔连续统，只有计算级数收敛或发散速度时，只有看到康托尔集和门格海绵、希尔伯特空间这些构造时，才真的感受到连续统的存在和优美，但哥德尔让人看到它的缺陷，也让我感到不安。所以连续统构造一直在心中占据。这也让我对抽象数学有所反感，我花大量时间去看数理逻辑和晦涩非标准分析，了解希尔伯特的公理化，结果令人失望，没有任何实际意义的数学结果，是一些花架子，得出自己一条很深的教训，千万不要让哲学分析进入数学（很多民科（甚至某些数学研究者）以哲学和幼稚的方式解连续统问题和讨论选择公理（业余数学研究者和民科是有区别的，很多业余和本科非数学系的转行成为大师的不少），哲学经常通过逻辑夹带进入），逻辑虽重要，但数学的构造才是最基本的。用有意义的构造方式处理连续统才是正道。用实例处理抽象，以几何制约代数，显然我喜欢庞加莱而不是希尔伯特（希尔伯特空间除外）和格洛腾迪克。并非认为抽象不重要，问题是什么样的抽象才是重要的，表示理论才让群深刻，不同维数空间中的正多面形（或胞腔形）自变换、循环群置换才是关键，矩阵是最复杂和深刻的计算构造（比如阵内的某些块对易很有意思，体现了局部交换性（比如阿蒂亚的k-理论）），很合适用来构造和计算等价类，可以自由操控方程。数论中的椭圆函数与模形式比较有实战意义。

分析与几何是天然浑成的，微分方程和微分几何的划分只是不同角度看问题，实际是一个东西。微分几何强调度量结构而微分方程强调参数与坐标。泛函最好的东西是希尔伯特和冯诺依曼的东西。至此深以为几何比代数更有意思，图形比数字有意思，尤其自由图形比规则图形更有意思。所以深深喜欢黎曼与庞加莱，尤其是庞加莱研究天体问题决心放弃经典几何方程进入代数拓扑领域时感到的开阔自由，因此去看拓扑的东西，越看越带劲。尽管或多或少地看了不少人的东西，诸如瑟斯顿、琼斯、米尔诺、莫尔斯、唐纳逊和其他人的一些东西，感觉还是要从庞加莱的角度重新开始，其他人的视野不如庞加莱，可以感到庞加莱对自己的工具不如其他人那么乐观。而且别人对他的几个工具重视不一，比如他的同宿栅栏（或轨道）工具还未发酵太深(由它变出KAM)。拓扑的定性分析应该只是他的无奈之举，其意还是要找到一个更好的计算工具，但是他不能，他的本意应该是要彻底排除以微分方程研究拓扑（实际他已经做得很不错了）。拓扑学的现状是以庞加莱方法为源的诸侯割据。当然也有庞加莱之外的，但不深刻。个人以为这些混乱正是拓扑学不成熟的标志。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（三） 深刻而影响深远的数学家

作者： wcboy

对于一般人，了解简单数学就够了，过深的数学对他们是有害的。对于一般数学应用者，过深的数学研究也是有害的，理解能用上派场的内容就够了，不要什么都追根究底，除非你的课题深度真的需要。只有真正有能力和天赋的研究者才合适滑入数学深渊。不是所有的数学内容适合科普和放在较低层次去讨论，比如Hodge structure、Mirror symmetry、Gromov–Witten invariant和Index theory，你要读懂，必须有很深很全面的数学背景。只有达到一定的背景，讨论才可相互理解。

数学的发展意味着留下的数学问题的解决难度越来越大，数学的研究越来越精英化而不适合常人。数学的发展是少数精英推动的，这比任何其他行业更加明显。数学巨匠和少数一流大师占据绝大部分数学贡献。

随着数学积累和研究深入，你对数学家的评价会随时间变化，让你真正认识一些深刻而影响深远的数学家。当然专门的偏好会让你产生一些个人偏见，要真正有效评论一个数学家必须结合对数学分支的恰当看法。

如果使用不同标准，那么评价是不一样的。如果你使用最牛的数学家标准，那么在一般情况下，大多数肯定是现在活着的数学家而不是远古数学家，因为即使现在一个数学研究生的水平都随便超过牛顿和阿基米德。如果采用历史贡献的标准，和稍将眼光在历史长河中延长到未来一个世纪以后，那么当代这些牛人没几个能上榜。如果一个数学研究者不熟悉诸如Grothendieck，Witten，Atiyah，Thurston，Quillen、Milnor，Kontsevich, Jones,Cones，Voevodsky等这些当代数学家名字，很怀疑他是不是一个合格的研究者。绝大多数数学研究者都会在自己心里对重要数学家的成就有自己的看法，即使他不说出来。

一般人中有影响的数学家和数学研究者中的有影响的数学家是不一样的。一般人很难评判众多数学家的成就，即使对很多数学研究者也很难，除非你的数学根基比较全面和有一定深度。

下面就说说个人对一些数学家的看法，从历史角度入手而不是从现在谁牛评判。

牛顿以前的数学家，比较欣赏的是Archimedes和Apollonius（圆锥曲线的分类，这种分类的思想研究是现代数学研究的第一推动力了）。
1900年以前或左右数学家，Riemann，Poincare，Gauss，Galois，Abel，Newton，Euler，Lagrange，Hilbert，Ramanujan。
1900年以后的，Grothendieck，Noether，Weil，Serre，Witten。
在个人观点，top one of all time，无法从Riemann，Poincare，Gauss三人中选出，如果从纯数学文章深度看，选Riemann，如果从数学难度选，挑Poincare（因为拓扑结构太难了），如果从数学广博挑，认Gauss（实际上Gauss太保守，很多好东西因为不完善不愿写出来）。个人偏好，Poincare更靠近自己。

如果要挑最天才的本能数学家，非Ramanujan，如果他命长点会generalization和make conclusion的话，那么最高丰碑数论家是他而不是Gauss了。一个能直接看到结论的天才难道不比只会推理解决别人问题的数学家更难能可贵吗？他是神赐数学家。如果一开始他就受到正规教育毒害太深的话，他的天赋会丢掉吗？是一个谜。

微积分不能全算到newton头上，但个人认为他比Leibniz强，一是它将充分物理纳入数学而发挥数学的威力，二是他继续推动Apollonius的分类工作。
Galois的群和Abel的函数已经成为数学中最难而深远的代数结构。

Grothendieck贡献了最棒的数学抽象思想和构造，Witten的出现可以看作一种趋势的加强，物理的基础结构将完全置于数学上，实验只提供系数（如普适常数，相对常数），即物理idea，基础及构造的解释完全数学化。他们的贡献还在于对常人设置了一个高门槛，让民科们望洋兴叹。当然我并非说Witten的SuperString theory是合理的，但认为他是一个有远见的一流数学大师（还不能到巨匠级别，除非SuperString theory真正占住脚）。
有些人虽然作出了重大贡献，但不能算数学巨匠或准巨匠，因为在发现或发明后没有深刻地刻画数学基本内容或非常不完善，或没达到大家的期望值，比如Descartes的坐标系，Godel的不完全定理和Cantor的连续统工作，都不到位或到达一个深度。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（四）对于数学分支的个人看法


作者：wcboy

对于一个比较全面的有发散思维的天赋强大的数学研究者，完全没有必要去理会数学分支这种无聊划分。但是对喜欢专门化的研究者，数学分支确实让他专注某个方面。对于后人的教育，数学分支的划分有利于培养机械化式的数学专才。每个数学分支的出现取决于形成分支的数学内容是否足够和结构是否稳定而成型。

无论如何，是数学问题而不是数学分支决定研究者需要的知识和学习路线。一般设置的课程都是基本稳定下来后的数学结构常识，一般知识也比较旧，离最前沿的内容具有很大距离。在一般情形下，这些稳定的知识只能解决一般问题或体制内问题，对重大难题或新发现，只提供基本支持，不提供解决方案。因此一般人学了也无法用于解决重大问题或发现重大结构。非平凡的问题绝大多数是需要大的或小的新工具去解决的。所以幻想通过题海战术学习基础知识能解决大问题是不现实，因为在最前沿工作的数学家在基础知识上不比你差，为什么他们没法去解决大问题，那就是因为大问题需要新工具或修改调整旧工具，没有天赋你怎么做呢。所以那些不强调天赋而向外人推销数学研究的做法是非常害人的，严重时可以一辈子将一个人给毁了，本来可以在其他方面有出息，本来可以过正常生活的（我想除了数学，这世上还有其他美好的东西在等待你，比如家庭小孩的天伦之乐，为何一定要当民科呢）。如果你有职业搞一点小兴趣，应该问题不大，只有到你确定自己真有天赋或能力时并且基础足够时，才能正式迈入数学研究这个深渊。同时要知道，不是所有有天赋的研究者都能步入成功的前台，绝大部分人都牺牲在路上当炮灰了。

一个成功的数学家，他的常识数学不一定就比那些不成功的人强。数学常规基本功强与数学成就不存在必然联系。

一旦提取特别分支，那么就必然涉及分支在整个数学的重要性问题，显然不是所有分支都一样重要。有些分支即使停下来了，但依然重要，有些最新的不一定重要。甚至有些分支虽然逻辑正确，但过于平凡而意义不大。比如微积分技术就是最重要的实用分支，矩阵及群计算是第二，数论在实用性上就差很多。有人认为数学不需要将实用，个人不同意这个观点。个人认为实用是数学的生命活力，所有看似纯粹的且高度抽象的数学部分是作为数学这个整体的一分子为认识物理世界服务的，虽然不直接出力。

对大数学家而已，分支不是大问题。真正的差异是他们感兴趣的课题和想问题的风格。你是代数式思考方式还是几何式思考方式，当然少数数学家两个方面都强，比如高斯，但是总有一个为主的，高斯喜爱代数超过几何。黎曼和庞加莱是典型的几何思维，比如黎曼猜想就反映了他的几何直觉，庞加莱就更不用说了。伽罗华，阿贝尔和格洛腾迪克是典型的代数思维。

判断一个数学家的思维方式，看他喜不喜欢在他论述中画图或叙述一个具体图形就可以判定了。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（五） 物理，几何和代数


作者：wcboy


搞数论的研究者是数学中的另类，他们中太多以数学至纯而倨傲（或孤芳自赏），很看不起源于应用的数学，认为自己的数学内容是最深刻、最难和最神圣的数学，同时数论或代数中大人物远多于几何，并且神童总与数挂上钩，中文中的数学可看作数之学，在中国数论的势力最强大。Gauss、Euler、Ramanujan等很多神童都是从数论开始的，他们使数感成为神话传说。

实际上数与形是同时出现的。为什么会知道自然数？因为要为具体的物体（离散几何形）计数而已，负数不过方向相反（也是几何形的要素），其他数的都是运算封闭的要求，它们都有几何意义，尤其实数与线的对应。向量数组不过是高维几何空间的对应。因此，数或扩张数不比图形处于更优越地位，事实上它们的出现都不过是人们处理图形和空间对需要。

所有运算都是方程，由于简单的运算大多数人一眼就看出了，就不认为它们是方程了，在人们眼里只有处理不能直接看出来的一大堆数或数组的集合才是明显的方程。本质上，数的分解都是（不定的或定的）方程。是方程就有几何出现，只是这些几何太平凡了，数论研究者不考虑罢了。随着后来难度的增大，数论一方面关注整体性质而上升到抽象代数，另一方面向微积分技术求救，微积分本质上就是几何，现在更甚，向拓扑深入。现在最深的椭圆曲线与模形式、高维Shimura variety都有强烈的几何拓扑内容，算术几何并非新东西，只不过之前没多少人乐意去正式提出。抽象代数更是与几何联系紧密，其核心群就是几何变换而已。

任何代数内容都有相应的几何解释，如果一个代数结构找不到有非平凡意义的几何解释和应用，那么它们就会被非议而不会被承认，所以没有几何考虑，就不能随意制造代数结构。代数只是处理几何的工具。

几何充满宇宙和物体变化，它与物理紧密相连，不可分离。有很多人认为物理是应用科学或几何应用典范。物理的理论不能简单归于应用，随着物理发展，物理逐渐几何化，几何开始能解释它对基本概念、idea和构造，相对论中黎曼几何和量子力学中的希尔伯特空间和群和拓扑，现在超弦更是几何主导。实在觉得物理与几何不是应用关系那么简单，只是现在的几何内容还不能将所有物理概念纳入自己的解释，否则几何完全从脚到头完全主宰物理。
在物理，几何，代数的关系中，几何处于中心，代数是几何需要的工具，而物理的工具是几何。牛顿、拉格朗日、庞加莱和威腾用双重大师身份一直在强化这条线。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（六）计算机与数学


作者：wcboy  


一些著名数学家对计算机的数学证明或计算持非常忧虑的态度，比如Atiyah。

四色问题、球装问题（sphere packing or Kepler conjecture）、有限单群计算、大素数的寻找和分形几何都是数学利用计算机的典型代表，它们全部或部分使用计算机完成证明或计算或画图。如果不用计算机，分形几何是不能被发现的。

实际上，当涉及大量数据和大数计算时，不使用计算机是不可能的，人无法在有限生命中完成这些计算和重复检验。这就涉及一个人对计算机计算可靠性信任问题。在工程计算中，工程师们绝对信任计算机就像信任自己一样，没有心理障碍。但数学家不一样，很多持怀疑态度。这是有理由的，比如Hales的sphere packing论文发表后，发现不少失误而后修改补充。

就个人观点而言，接受计算机不不接受要好。大量工程实践表明计算机计算是值得信任的。就算一种计算机环境（硬件和软件）不行，还可以通过其他计算机环境进行重新计算，如果多种环境全部一致，那么计算结果就应该被信任。实际上让人担心的是数学家的数学本身的计算构造模型和为之设计的计算机程序模型两者是否同时逻辑无误。如果是，证明和计算结果就应该被信任。如果真的日后通过其他计算机或非计算机途径发现错误（尽管几率极低），那也没关系，让人意识到计算机环境的缺陷而改它，更利于后来者。

多变量高维数复杂图形的数学结构的大数据计算和画图必须使用计算机辅助完成，这是日后数学趋势，很多极难得硬计算的数学证明脱离不了机算。
计算机已经为数学家揭开了很多数学家看不到的东西，我们必须要为计算机证明和计算保留位置。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（七）抽象与具体 格洛腾迪克和庞加莱


作者：wcboy


后人看前人，都觉得前人的东西容易，我们的后人也会这样看我们，确实后人在大多数情况下是这样的，基于知识的积累，后人一般比前人牛，这道理谁都懂。但牛不等于这些牛人的功绩彪炳历史，在历史上比前人有更高的地位，难道你能说庞加莱、黎曼、高斯等很多历史成就就比现在的大多数牛人差吗？就个人观点而言，现在没有一个人能在历史成就上比得上这三人，格洛腾迪克也不能。

评价历史我们后人更容易客观看待我们和前人的功绩的历史价值，其结果是后人一定会把我们对当代人的自吹自擂的吹水成分大大压缩，其结果是现在没几牛人能上历史排行榜。所以最牛的人不等于历史排行榜。以历史的眼光看人和成就更客观，但是当代人根本很难客观，都想把自己吹上历史的排行榜，以让后人记住自己，但是后人不是傻子，后人有自己的判断标准，当代人不可能替后人定标准。

代数几何萌芽从意大利学派算起比较合适，法国Bourbaki学派是它辉煌的开始，格洛腾迪克使它达到目前的顶峰。

代数几何不能说不抽象到目前的极端，数学人也因此把它抬高到极端。algebraic varieties，sheafs，schemes，algebraic spaces, algebraic stacks，topos，sites，motif （or motives），higher category，higher K-theory， Grothendieck–Riemann–Roch theorem，intersection theory以及涉及Weil conjectures，Hodge conjecture和 motives到Galois theory的长征。这些东西实在抽象炫目得很。


抽象与具体

一般人都认为抽象比具体有价值得多，所以不断忙于抽象再抽象，把别人的东西抽象推广到自己的特例，自己就比别人贡献更大。这是很好笑的。不少抽象显得非常稀疏化和平凡化。
什么是表示理论？如果只是一些假大空的抽象，这些抽象的东西只能用来说话，没有计算技术来表达，就没有太多的深刻技术含量，只有能用有效计算技术来定义或分类或区别一个或一堆数学对象从其他不同的想要区分的数学对象时，这种抽象才深刻，所以表示理论是抽象数学要达到的目标，现在无论代数几何和抽象拓扑都差得远。表示理论是很难的，一般抽象至多是框架，框架易搭建，但建筑施工困难。所以俄罗斯学派的表示理论观点是非常重要的，是务实不务虚的。
表示论就是从抽象再到具体的过程，用具体的计算工具去处理抽象。
一般的具体就比抽象不值钱吗？实际上，抽象时也排除了很多具体对象，让它们处于例外情形。某些情形下，我们处理一个具体对象，最后会得到一个更大的数学内容和抽象（比如费马最后定理导致一连串的抽象进展），按这些抽象家的说法，把他们给抽象进去了，他们的抽象理论成了special case。所以不要看不起具体数学。


格洛腾迪克和庞加莱

格洛腾迪克的存在，使得20世纪的数学中代数或抽象代数对几何或拓扑处于绝对优势地位，格氏本人也成了数学史最顶级的抽象巨匠。正如牛顿至庞加莱时期，几何处于中心地位一样。

难道庞加莱的抽象能力比格洛腾迪克差很远？也许应该这样问比较公平，庞加莱是否喜欢抽象方式？
显然，庞加莱的抽象能力并不差，否则他能搞出那么多深刻的拓扑技术和微分方程技术，而且他也早早意识到了高维几何问题，否则他怎么去搞n体问题的微分方程和提出那个有名猜想，他也大量使用群。但是他显然更关注几何的硬的可计算技术和应用，不喜欢假大空，他有很强的计算能力和计算构造能力（格洛腾迪克这方面就不如他），不太喜欢很死板的规范证明，好像对数论也不关心，且极度关心物理，其理论物理及计算物理能力之强就算很多纯物理大师都不如他。

几何想象力和物理应用，格洛腾迪克在庞加莱面前就显得很弱了。代数几何的主心骨上同调技术还主要源于庞加莱（庞加莱同调对偶）。
格洛腾迪克的拓扑太弱了，在这点上威腾比他强很多，威腾的视野很深邃，个人认为虽然图形想象力比瑟斯顿差，但拓扑构造洞察力是目前自庞加莱后最好的，虽然达不到庞加莱的高度。威腾的洞察力主要来自他对物理的强悍理解（目前最好的弦论家）。可惜威腾已经过了他的黄金时期，不会有太大的东西出来了。

代数几何还不能还盖全部数学内容，其中几何拓扑部分差很远，在庞加莱眼里，homotopy是比homology更有效和更难的计算工具。现在higher-K homotopy还是不行的，庞加莱也知道homotopy也不是拓扑终极fine工具。
格洛腾迪克的全面性和深刻性不能与庞加莱比。

一个强的研究者，应该可以从简单中看到复杂，从复杂中看到简单，从具体走向抽象，从抽象在回到具体。如果一个数学研究者没有较强的计算能力，一般来讲，是不完美的。如果一个数学研究者只会傻算而不懂数学构造优先，那不会有大出息。如果一个构造不合理，算出来了也达不到要求。要算，但要先搞清楚为什么要算。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（八）数学，艺术


作者：wcboy


数学研究当然是一门艺术，艺术这个概念具有对任何事物的探究的普适性，数学也不例外。很多数学家喜欢将数学与绘画、音乐、建筑和文学放在一起讨论。所有艺术的风格可以放在一起类比。很欣赏数学画家Maurits Cotnelis Escher。分形图形、Hopf fibration，tiling就是完美的绘画，几何就是绘画。
下面是某些个人的类比（本人不喜好文学，文学就免了）。

Newton：da Vinci(oil painting)Beethoven(classical music)Gropius(modern architecture,现代建筑之父)

Gauss：Raphael(oil painting，architect,最喜欢的painter，最完美的写实派，最woman的艺术家)Bach(classical music,最完美的音乐)

Euler：Velasquez(oil painting)Mendelssohn(classical music)

Riemann：Rembrandt(oil painting)Chopin(classical music)Le Corbusier(modern architecture,最喜欢的建筑师，最完美的建筑：朗香教堂)

Poincare（最喜欢的数学家）：Michelangelo(oil painting,sculptor, architect，最man的艺术家)Tchaikovsky(classical music)Frank Lloyd Wright(modern architecture，流水别墅)

Galois：van Gogh(oil painting)Debussy(classical music，格洛腾迪克motif,topi的海洋升起的感觉来自德彪西印象派音乐)

Abel：Cezanne(oil painting，格洛腾迪克的motif来自塞尚的印象派,最欣赏的印象派)Schubert(classical music)

Grothendieck：Picasso(oil painting)Stravinsky(classical music)Ludwig Mies van der Rohe(modern architecture,少就是多，用最少的表达最多的)

Witten：Dali(oil painting，最好的超现实派，类似超弦)Shostakovich(classical music，最喜欢的古典音乐家)Rich ard Meier(modern architecture)

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（九）数学乱弹一


作者：wcboy


数学是人类智力强度和难度最高的学科，你可以随便对其他学科夸夸其谈而主观地争论对错，但是没多少人可以或有资格谈论高端或高难度的数学。有人说理论物理的智力要求可以与数学媲美，我想理论物理最难的部分就是依靠着某些高端数学，实际上理论物理不是比美高端数学，而是显耀高端数学的强悍。

物理的idea如果脱离了数学化，就和哲学和艺术一样随便供路人蹂躏，尤其是被民科沦陷。理论物理的数学部分是唯一抵抗民科的利器。就算一个物理idea“正确”，没有数学支持，也就是一个儿童文学。民科可以得到一个正确或合理的idea，但还是不能提供正确或合理的数学构造。就像任何人可以赌对一个只有两个选项（即便多个选项）的数学猜想，这毫无难度，但这些人就可以比美数学家了吗？因此，正确的idea并不是物理成功的最主要部分，数学构造才是最重要的部分。如果没有数学支持，爱因斯坦成不了名，这就是爱因斯坦感叹数学对物理的支配，而牛顿、拉格朗日、威腾等人主动或被迫成为数学家的原因，因为数学家没有办法给他们提供更强的工具去支持物理进步，也就是说数学的进展落后于物理的要求。当今就是一个数学的进展落后于物理的要求的时期。爱因斯坦是幸运的，有黎曼给他提供工具，量子学家是幸运的，有伽罗华和李给他们提供工具。超弦学家（或别的什么学家if超弦失败）是不幸的，因为现在数学家天赋不够，没有庞加莱和牛顿级别的天才，不能提供厉害工具，所以威腾只好亲自上阵来给数学家示范上课。就算威腾的超弦最终错了，但威腾还是比那些有正确物理idea的民科要有价值多了，因为民科始终不明白没有数学的正确物理idea不比垃圾好多少。

数学没了，人类只能活在原始部落中。现代科学的发展是物理在彰显数学的荣耀。数学永远是人类智力挑战的顶峰。从历史角度观之，物理和数学互相推动，有时你先，有时我先，可以远到阿基米德的工作。

酒哥

[八卦怪谈] 一些对数学领域及数学研究的个人看法（十）
数学乱弹二


作者：wcboy


数学人中不少人抗拒给数学家排名，给数学分支的重要程度分类。这种思想就是和稀泥，这不是一种健康思想。当然排名不一定非得说出来，藏在心里也行。实际上这反映个人的数学品味，深度和把握数学趋势的能力。

高斯、阿基米德和牛顿是数学史top3的看法还深深扎根广泛人群中。这些人要么非数学研究者（95%数学系的学生不在数学研究者之列），要么偏执或偏科数学研究者。

任何数学人物的成就评价都是随数学进展而呈现动态特征。一个二十一世纪的评价怎可以还停留在20世纪甚至19世纪以前的状况呢？如果在二十世纪以前，这个top3论还可以勉强存在，那么现在再如此，只能说明现代数学从来没有在这些人心中存在。数学的进展及未来可能进展不断地调整数学家的地位。

拓扑学、非欧几何、复几何、抽象代数和代数几何的出现明显提高了庞加莱、黎曼和伽罗华的地位，数学上最重要的进展全都在微积分诞生以后。所以阿基米德不再属于top3了。

牛顿参与微积分创建和经典力学的奠定抬高了地位，牛顿的物理学地位不能全算进来，毕竟物理还不完全从属于数学，况且微积分不是牛顿一个人作为第一创作者，阿基米德、费马、莱布尼茨都参与了，并且分析学上最强的大师不是牛顿而是欧拉，欧拉才是微积分草创阶段的第一大师，草创时期比的是谁的无穷级数功底厉害，况且欧拉其他非物理方面的数学远强于牛顿，比如拓扑学、复分析的先驱。

高斯top3地位现在还是可以保留的，但绝不是绝对第一，硬要排，也轮不到他，应该是黎曼或庞加莱。以伽罗华之才，高斯也是不能比的，高斯20岁出了不起的数学成就，但不能与伽罗华19岁出群论比，如果伽罗华活得与高斯同样长寿，那么top3里就没有高斯什么事了。论数学洞察力天才，高斯不如伽罗华，论数字计算天才，高斯不如印度的拉马努金，甚至欧拉。高斯靠的是全面不是深刻（与那些厉害的人相比而言）。伽罗华虽然只有一个成就，但就是这个自己独立支撑的成就使他吃遍数学江湖鲜有敌手。有人说他是偏才，我想如果伽罗华活长一点就可以证明他是全才，因为群论可以通吃代数，几何的。伽罗华的错，是他远远领先他的时代和高斯和他不珍惜自己的生命。伽罗华和庞加莱一样，几乎以一人之力开创一个数学最重要的一个主力构造，高斯没有一个成就比得上。

高斯虽然参与草创了微分几何和非欧几何，但只黎曼的非欧才是真正集大成者，他几何平行公理的争论转变成数值条件，即数学的计算构造取代公理构造。黎曼的复值单值化更是有用的计算构造技术，黎曼猜想只是黎曼在复几何上的顺手牵羊，另外他也是拓扑学的先驱。

庞加莱，数学成就就不用强调了，要强调的是他是仅物理次于牛顿的数学家，除非威腾能将超弦理论hold住（一旦超弦成了，威腾在物理上的威望将超过爱因斯坦和牛顿，但我本人认为可能性不大，因为正确的拓扑数学工具没有出现）。不像广义相对论，狭义相对论的功劳不能全归于爱因斯坦，庞加莱在这里仅次于爱，他的物理失败之处在于他太认同牛顿了。

很多人强调高斯、牛顿和阿基米德，实际上是强调一种思想站上风，及数学的有用性等同表面的物理应用。难道格洛腾迪克、诺特阿姨的精神没用？显然不是，并且他们也在以某种方式推动物理，这是不在表面。抽象并不等于无用，有些抽象无用是因为时机未到。可以说格洛腾迪克、诺特阿姨的抽象是极其有用的，而其他人的抽象是无用。这就是说抽象有用的程度与人的数学天赋挂钩。大多数人没有格老和诺阿姨的天才去驾驭抽象。