革命性的变化发生在1859年。 1859年8月，时年32岁的数学家黎曼(G. F. B. Riemann)
向柏林科学院提交了一篇论文，题为“论不超过一个给定值的素数的个数”。在这篇
论文的中，他把素数点数和所谓的ζ函数建立了联系，这一联系推动了解析数论的发展
；文章中提出的黎曼猜想给数学家们带来了比素数分布更大的挑战：时至今日，在经历
了150多年的认真研究和极力探索后，这个仍然悬而未决。关于黎曼猜想的最权威的科
普文章，可以见科普高手卢昌海的《黎曼猜想漫谈》。
虽然黎曼没有给出关于π(N) 的具体结果，但他为在黑暗里奋斗的素数分布研究指明了
方向。正是沿着这个方向，1896年，法国数学家阿达马(J. S. Hadamard)和比利时数学
家普桑(Charles Jean de la Vallee Poussin)几乎同时独立地证明了素数定理。差不
多半个多世纪后的1949年，塞尔伯格和爱尔特希给出素数定理的初等证明。前者因此工
作以及对筛法的提出获得了1950年的菲尔兹奖。
张益唐的文章基于加州圣荷西大学（San Jose State University ）的戈德斯通（
Daniel Goldston）于2005年发表的文章。一般来说，随着数的增大，素数间隙也越来
越大；也就是前面说到的越来越稀疏。但戈德斯通的研究小组证明了，即使在很大的数
中，仍然存在紧邻的素数。要直接把戈德斯通的方法应用于孪生素数问题却有很本质的
困难。这一点张益唐克服了；他说他是去年夏天的7月3日在科罗拉多州朋友家的后院里
聚会时突然开窍的。
张益唐在2013年5月13日在哈佛展示了研究成果。他的证明看起来运用了一些常用的数
学技巧，以至于有些人质疑他是否真的正确。但是《数学年刊》审稿人高度评价说：“
这项研究是第一流的，作者成功证明了一个关于素数分布的里程碑式的定理。”（The
main results are of the first rank；the author has succeeded to prove a
landmark theorem in the distribution of prime numbers.)
对张益唐在普渡的八年，他的博士导师莫宗坚在张益唐出名后的10天内，写了一篇文章
：“张益唐1985年一月至1991年12月在普渡的岁月”,描述了张益唐那几年的学习和工
作。文中说：有时我很后悔没有帮他找工作（Sometimes I regrete not fixing
him a job）； 他从此再也没有找我写过推荐信（He never came back to me
requesting recommendation letters）。在这篇文章中，莫教授还说张益唐是一个有
生活情趣的人，曾经被选为普渡大学中国留学生协会主席，并且干得不错；他也认为张
益唐的古典文学修养很好。
最主要的是，在新罕布什尔大学数学系， 张益唐又可以在数学讨论班上把自己新的想
法、新的工作与大家分享。这样，他平生的第二篇工作，关于黎曼猜想的文章（On the
zeros of ζ′(s) near the critical line）发表在重量级的数学期刊《杜克数学》
( Duke Mathematical Journal)上。之后，他还有一篇50多页的关于Landau-Siegel零
点猜想的文章（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）放在数学公开平台网上。
因为当时张默默无闻，文章被当成民科作品被忽略了。现在发现他有真才，文章又被翻
出来，有评论说这可能是解析数论的另一个重大突破。而现在已经被承认的孪生素数猜
想文章也是在葛力明的讨论班上讲过的， 从这里走向世界的。