9 2011 年春天,在南京大学举办的“代数 K- 理论及其应用
国际会议”期间, 笔者曾经就此事请教了马克斯 • 卡鲁比教授。
会议之后,卡鲁比教授给笔者写下了这段史实:When I started to
write my PhD thesis in 1964/65, I showed the first version of it to
Grothendieck since I was visiting the IHES very often at this time. He
then learned from me this notion of “idempotent completion” which
I used to define the category of vector bundles. More precisely, the
idempotent completion of the category of trivial vector bundles is the
category of ALL vector bundles (on a compact space or a topological
space of finite dimension).
作者: 酒哥 时间: 2014-4-15 04:39
相对格氏的理论而言, Jacob Laurie 理论的价值似乎尚未确定下来,尚缺乏(数学或物理)实例(重大猜想、重大问题的解决、重大例子的构建)的支持。
ZT
事实上,Lurie DAG和B.Toen的homotopical algebraic geometry是一个体系的,是
higher world version of Grothendieck machine.比如Lurie 发展了higher topos theory.
曾经听过Toen的一个所谓F_un geometry的lecture.他们发展了so called n-geometric sheaf
, 有一些higher version of separateness的刻画n geometric sheaf几何性质的概念。
Beilinson and Bernstein的一个重要的工作是localization of g-modules,where g
is f.d Lie algebra. 事实上D-modules 可以看成是一种projective scheme.这样上面的代数
几何
(such as affine covers,localization and globalization)就可以for free地由
Grothendieck Machine produce.而Beilinson-Bernstein localization就把
representation theory of Lie algebra变成了AG的问题。这样就有D-scheme version的
Grothendieck
machine。当然,这里他们用的实际上是Derived noncommutative algebraic geometry
的想法,也就是说他们把Derived category of D-modules看成是一个"space",而BBD中核
心的一部分工作便是t-structures,借此我们可以从derived setting恢复到original space
。另外,事实上,D-modules theory是和Grothendieck crystalline cohomology theory是
有很密切的关系的。众所周知的是crystalline cohomology theory和其他重要的cohomology
theory such as algebraic deRham cohomology and motivic cohomology是有密切关系的,
而BB-chark=0是可以看成是这个工作的一个starting point.(reduction的起点)(
Berthelot并没有well develop crystalline cohomology),而现在Berstein又转向了p-adic
representations. 另外他的一些很厉害的学生,such as Edward Frenkel, Dennis
Gaitsgory and Roman,Bezrukavnkov开始了localization of Lie algebra of
positive character的工作,而这些工作我以为可以看成是Crystalline cohomology for
character p,(比如不久前,Bezrukavnikov,Ivan Mirkovic and Dmitry Rumynin的使用so
called Crystalline differential operator来处理Lie algebra for positive character>
coxter number)
而大佬们普遍认为这部分工作是比较难的,所以如果谁搞出了统一处理这种问题的
Grothendieck style的Framework,我想肯定会引起关注的。
PS:忘记提Deligne了--_____---, 据说perverse sheaf的一些关键观点来源于
Crystalline
cohomology and weil conjecture.
另外Grothendieck 做的machine大多是quasi compact的,他对于infinite
dimensional的representation theory并没有太多关注,因此他的Fellow们,对于non quasi
compact上的
machine就很关心,比如Kashiwara 1988的Flag manifold for Kac-Moody algebra就试
图建立non quasi compact(infinite dimensional Lie algebra)上的代数几何,尽管他的工
作很厉害,也证出了上面的Kazhdan-Lusztig conjecture.但是一直受到大佬们的怀疑,原因
是那上面没有诱导出相应版本的localization theorem。因此大家一致期望有真正的完全
Grothendieck style的工作,因此现在Edward Frenkel, Dennis Gaitsgory这方面的工
作都比较受到关注,我想,这也是传出Bezrukavnikov, Gaitsgory也要拿Fields的原因之一吧
(臆测的)(为什么Kashiwara没能解决呢,一说是,Kashiwara用的是algebraic analysis的
哲学和想法,而这个不能解决云云)
我想这些或许能回答这个版上以前有人问为什么Yun Zhiwei的工作比较重要的问题