丘成桐与几何分析

酒哥

（简体版）


丘成桐与几何分析

-- 郑绍远

欣闻丘成桐获得2010年沃尔夫数学奖，兴奋莫名，因为这是第二位华裔数学家获此殊荣，我的老师陈省身先生在1983年以他在整体微分几何的巨大贡献而获沃尔夫奖。 丘成桐则以他在几何分析领域的巨大贡献而获奖。几何分析是丘成桐创建的数学领域，丘成桐成功地把偏微分方程的方法，尤其是非线性分析的方法，引进几何问题中，丰富了偏微分方程的课题，而又有效地破解了大量的几何和理论物理的难题。20世纪70年代是几何分析的奠基和茁壮期，一些重要的方法和观点都在这个时期发展出来，我十分幸运能亲历这个时期的重要活动，现在回想起来仍能感受到当时学术的激情和创意的澎湃。


丘成桐在1969年秋获奖学金到加州大学伯克利分校攻读数学博士课程，他在一个学期后便解决了沃尔夫猜想（Wolf Conjecture，与沃尔夫奖无关），基本上完成了博士课程的主要部分，沃尔夫猜想是关于曲率和基本群的一个猜想，主要技巧是群论。 因为丘成桐卓越的成就，伯克利就一口气给奖学金录取了我和中文大学的一位同学。 到伯克利后，我和丘成桐合租一间在欧几里得街（很巧合!）上的单身公寓，丘成桐很喜欢谈数学和与朋友分享他的观点和想法，每日浸淫其中，我自然获益匪浅。事实上在这时期丘成桐已开始钻研偏微分方程，当时伯克利在这方面的大师是摩理教授（Charles Morrey）。他的巨著《变分法中的多重积分》刚出版，但这本书较艰深难读，丘成桐在1970年春季修读了摩理教授的讨论班学习这本巨著。但1970年春季是一个动荡的时期，五月在肯特州立大学（Kent State University）反战活动中，四名学生中枪死亡，因此全美发生大规模的反战活动，伯克利校园成为学生和警察的战场，多次实施宵禁和戒严，摩理教授的讨论班上只剩丘成桐一人，在硝烟弥漫和直升机盘旋声音充耳的环境中，丘成桐独得摩理教授的心传。在这段时期，丘成桐仍在钻研非线性偏微分方程的理论，但他已提出一个重要问题，就是把经典的刘维尔定理（Liouville Theorem）推广到完备非紧致里奇曲率（Ricci curvature）非负的黎曼流形上。 这是一个很好的问题，因为问题漂亮而又不能用既有方法解答，1972年丘成桐发展了在黎曼流形上做梯度估计（gradient estimate）的方法解决了他自己提出的问题。在黎曼流形上的梯度估计是几何分析发展的重要里程碑，可以说丘成桐这个工作宣告了几何分析的诞生。


1973年暑假丘成桐自美国东部到加州斯坦福大学任助理教授，往后在加州的数年是几何分析的重要发展时期，丘成桐和几何分析的几个重要人物开始了长期的合作关系，共同把几何分析研究推到高峰。在斯坦福大学，丘成桐认识了年轻的澳大利亚籍数学家李安·西蒙（Leon Simon）。 西蒙教授是一位谦谦君子，他并非名校毕业，但他出色的博士论文令斯坦福大学的吉尔拔（David Gilbarg）教授大为赏识，把他聘到斯坦福大学数学系任助理教授。另一位关键人物是孙理察教授（Richard Schoen, 孙理察是丘成桐给他取的中文名字）。孙理察当时仍是研究生，他来自中西部农庄，有着中西部人沉实苦干的精神，他身高六英尺，身手灵活，各种球类都精通。他是少数可以灌篮的数学家。他的垒球亦十分出色，1979年丘成桐、孙理察、李伟光和我四人到夏威夷旅行，看见挂在椰树上的椰子艳羡不已，孙理察拿起石头向着四十英尺高的椰子树一掷，就把树顶的椰子打下来，可惜后来椰子不能带进美国大陆而被海关充公了。丘成桐、西蒙和孙理察当时都是二十多岁左右，风华正茂，所谓初生之犊，不畏猛虎，半年后他们三人就在极小子流形方面有所突破，做出了出色的工作。孙理察告诉我，丘成桐这时去旁听很多研究生的课程，斯坦福大学有很优秀的分析传统，丘成桐兼容并包，无所不学，功力大为增长，很快便到了融会贯通，自成一派的境界。


丘成桐自1971年起便知道卡拉比猜想（Calabi Conjecture）的重要性，立定决心要破解这个问题。要解决卡拉比猜想就要解决在黎曼流形上一个二阶全非线性椭圆型方程，这个问题就算在欧氏空间已经是一个十分困难的问题。在1975年丘成桐和我在这方面有一些很好的进展，但距离解决卡拉比猜想仍远，因为我们欠缺一个关键性的零阶先验估计（0-order a priori estimate）。丘成桐在1976年夏天结婚，小登科后数月便解决了卡拉比猜想而名震天下，1977年陈省身先生立刻邀丘成桐到伯克利访问一年。这时伯克利人才济济，孙理察在1975年自斯坦福毕业后便于伯克利任助理教授，伯克利亦向麻省理工学院挖墙脚，把几何及拓扑学大师辛格（I. M. Singer）聘到伯克利，他的办公室就在丘的旁边。十分幸运我刚巧得到史隆基金会（Alfred P. Sloan Foundation）的史隆研究奖，可以专心做研究一年，不用教学。知道丘成桐会到伯克利之后，我亦携一家老少回到母校伯克利一年，继续做几何分析的研究工作。这时李伟光（Peter Li）是陈省身教授门下的研究生，李伟光来自香港，很讲究生活品味，他每天开着名贵Alfa Romeo跑车上学，在伯克利数学系中传为佳话。李伟光在这时开始与丘成桐在几何分析方面做研究，他和丘成桐在20世纪80年代初做了大量出色的工作，其中关于黎曼流形上的热核估计更在2003年佩雷尔曼（Perelman）的庞加莱猜想工作中起关键的作用。


在伯克利期间，辛格教授对理论物理，尤其是规范场论感兴趣，很多著名的数学家和物理学家都到伯克利作访问，丘成桐和孙理察亦开始研究广义相对论的正质量猜想（positive mass conjecture）。丘成桐和孙理察首先发展了三维流形内的极小曲面理论，再以此为基础在1978年解决了正质量猜想，这个工作令霍金（Stephen Hawking）赞叹不已。丘成桐访问了霍金教授，霍金向丘成桐提出正能量猜想（positive energy conjecture），丘成桐和孙理察亦在数月后亦把它解决了。


丘成桐这一系列的工作自然引起数学界的重视，普林斯顿高等研究院（Princeton Institute for Advanced Study）立刻邀请丘成桐在1979年度主办微分几何年，广聘这方面的数学家会聚一堂，推动整个领域更上一层楼，这可以说是几何分析的第一个群英会。丘成桐邀请了孙理察、李安·西蒙、李伟光到普林斯顿访问一年，而我亦得到普林斯顿大学数学系的支持，给我一年不用教书，全心全意参加高等研究院的学术活动。这一年大家都住在高等研究院的宿舍，有更多机会切磋讨论。丘成桐又主办了很多学术活动，天下英雄好汉都来作学术访问，互相切磋，丰富了几何分析的内容，扩大了几何分析的影响力，使之成为数学领域的一个重要学科。丘成桐更把整年的学术活动编辑成书，并加上他所订立的120个几何分析的重要猜想，为几何分析日后的发展定了明确的方向。自1980年到今30年间，几何分析蓬勃发展，很多数学难题都以几何分析的方法一一破解，要描述这30年的发展要更多的篇幅，并非这篇短文所能概括了。

酒哥

丘成桐與幾何分析


-- 鄭紹遠


欣聞丘成桐獲得2010年沃爾夫數學獎，興奮莫名，因為這是第二位華裔數學家獲此殊榮，我的老師陳省身先生在1983年以他在整體微分幾何的巨大貢獻而獲沃爾夫獎。丘成桐則以他在幾何分析領域的巨大貢獻而獲獎。幾何分析是丘成桐創建的數學領域，丘成桐成功地把偏微分方程的方法，尤其是非線性分析的方法，引進幾何問題中，豐富了偏微分方程的課題，而又有效地破解了大量的幾何和理論物理的難題。 20世紀70年代是幾何分析的奠基和茁壯期，一些重要的方法和觀點都在這個時期發展出來，我十分幸運能親歷這個時期的重要活動，現在回想起來仍能感受到當時學術的激情和創意的澎湃。


丘成桐在1969年秋獲獎學金到加州大學伯克利分校攻讀數學博士課程，他在一個學期後便解決了沃爾夫猜想（Wolf Conjecture，與沃爾夫獎無關），基本上完成了博士課程的主要部分，沃爾夫猜想是關於曲率和基本群的一個猜想，主要技巧是群論。因為丘成桐卓越的成就，伯克利就一口氣給獎學金錄取了我和中文大學的一位同學。到伯克利後，我和丘成桐合租一間在歐幾里得街（很巧合!）上的單身公寓，丘成桐很喜歡談數學和與朋友分享他的觀點和想法，每日浸淫其中，我自然獲益匪淺。事實上在這時期丘成桐已開始鑽研偏微分方程，當時伯克利在這方面的大師是摩理教授（Charles Morrey）。他的巨著《變分法中的多重積分》剛出版，但這本書較艱深難讀，丘成桐在1970年春季修讀了摩理教授的討論班學習這本巨著。但1970年春季是一個動蕩的時期，五月在肯特州立大學（Kent State University）反戰活動中，四名學生中槍死亡，因此全美髮生大規模的反戰活動，伯克利校園成為學生和警察的戰場，多次實施宵禁和戒嚴，摩理教授的討論班上只剩丘成桐一人，在硝煙瀰漫和直升機盤旋聲音充耳的環境中，丘成桐獨得摩理教授的心傳。在這段時期，丘成桐仍在鑽研非線性偏微分方程的理論，但他已提出一個重要問題，就是把經典的劉維爾定理（Liouville Theorem）推廣到完備非緊緻里奇曲率（Ricci curvature）非負的黎曼流形上。這是一個很好的問題，因為問題漂亮而又不能用既有方法解答，1972年丘成桐發展了在黎曼流形上做梯度估計（gradient estimate）的方法解決了他自己提出的問題。在黎曼流形上的梯度估計是幾何分析發展的重要里程碑，可以說丘成桐這個工作宣告了幾何分析的誕生。


1973年暑假丘成桐自美國東部到加州斯坦福大學任助理教授，往後在加州的數年是幾何分析的重要發展時期，丘成桐和幾何分析的幾個重要人物開始了長期的合作關係，共同把幾何分析研究推到高峰。在斯坦福大學，丘成桐認識了年輕的澳大利亞籍數學家李安·西蒙（Leon Simon）。西蒙教授是一位謙謙君子，他並非名校畢業，但他出色的博士論文令斯坦福大學的吉爾拔（David Gilbarg）教授大為賞識，把他聘到斯坦福大學數學系任助理教授。另一位關鍵人物是孫理察教授（Richard Schoen, 孫理察是丘成桐給他取的中文名字）。孫理察當時仍是研究生，他來自中西部農莊，有著中西部人沉實苦幹的精神，他身高六英尺，身手靈活，各種球類都精通。他是少數可以灌籃的數學家。他的壘球亦十分出色，1979年丘成桐、孫理察、李偉光和我四人到夏威夷旅行，看見掛在椰樹上的椰子艷羨不已，孫理察拿起石頭向著四十英尺高的椰子樹一擲，就把樹頂的椰子打下來，可惜後來椰子不能帶進美國大陸而被海關充公了。丘成桐、西蒙和孫理察當時都是二十多歲左右，風華正茂，所謂初生之犢，不畏猛虎，半年後他們三人就在極小子流形方面有所突破，做出了出色的工作。孫理察告訴我，丘成桐這時去旁聽很多研究生的課程，斯坦福大學有很優秀的分析傳統，丘成桐兼容並包，無所不學，功力大為增長，很快便到了融會貫通，自成一派的境界。


丘成桐自1971年起便知道卡拉比猜想（Calabi Conjecture）的重要性，立定決心要破解這個問題。要解決卡拉比猜想就要解決在黎曼流形上一個二階全非線性橢圓型方程，這個問題就算在歐氏空間已經是一個十分困難的問題。在1975年丘成桐和我在這方面有一些很好的進展，但距離解決卡拉比猜想仍遠，因為我們欠缺一個關鍵性的零階先驗估計（0-order a priori estimate）。丘成桐在1976年夏天結婚，小登科後數月便解決了卡拉比猜想而名震天下，1977年陳省身先生立刻邀丘成桐到伯克利訪問一年。這時伯克利人才濟濟，孫理察在1975年自斯坦福畢業後便於伯克利任助理教授，伯克利亦向麻省理工學院挖牆腳，把幾何及拓撲學大師辛格（IM Singer）聘到伯克利，他的辦公室就在丘的旁邊。十分幸運我剛巧得到史隆基金會（Alfred P. Sloan Foundation）的史隆研究獎，可以專心做研究一年，不用教學。知道丘成桐會到伯克利之後，我亦攜一家老少回到母校伯克利一年，繼續做幾何分析的研究工作。這時李偉光（Peter Li）是陳省身教授門下的研究生，李偉光來自香港，很講究生活品味，他每天開著名貴Alfa Romeo跑車上學，在伯克利數學系中傳為佳話。李偉光在這時開始與丘成桐在幾何分析方面做研究，他和丘成桐在20世紀80年代初做了大量出色的工作，其中關於黎曼流形上的熱核估計更在2003年佩雷爾曼（Perelman）的龐加萊猜想工作中起關鍵的作用。


在伯克利期間，辛格教授對理論物理，尤其是規範場論感興趣，很多著名的數學家和物理學家都到伯克利作訪問，丘成桐和孫理察亦開始研究廣義相對論的正質量猜想（positive mass conje​​cture）。丘成桐和孫理察首先發展了三維流形內的極小曲面理論，再以此為基礎在1978年解決了正質量猜想，這個工作令霍金（Stephen Hawking）讚歎不已。丘成桐訪問了霍金教授，霍金向丘成桐提出正能量猜想（positive energy conje​​cture），丘成桐和孫理察亦在數月後亦把它解決了。


丘成桐這一系列的工作自然引起數學界的重視，普林斯頓高等研究院（Princeton Institute for Advanced Study）立刻邀請丘成桐在1979年度主辦微分幾何年，廣聘這方面的數學家會聚一堂，推動整個領域更上一層樓，這可以說是幾何分析的第一個群英會。丘成桐邀請了孫理察、李安·西蒙、李偉光到普林斯頓訪問一年，而我亦得到普林斯頓大學數學系的支持，給我一年不用教書，全心全意參加高等研究院的學術活動。這一年大家都住在高等研究院的宿舍，有更多機會切磋討論。丘成桐又主辦了很多學術活動，天下英雄好漢都來作學術訪問，互相切磋，豐富了幾何分析的內容，擴大了幾何分析的影響力，使之成為數學領域的一個重要學科。丘成桐更把整年的學術活動編輯成書，並加上他所訂立的120個幾何分析的重要猜想，為幾何分析日後的發展定了明確的方向。自1980年到今30年間，幾何分析蓬勃發展，很多數學難題都以幾何分析的方法一一破解，要描述這30年的發展要更多的篇幅，並非這篇短文所能概括了。

酒哥

转自明报月刊